قواعِد الأعدَاد

موضوع: قواعِد الأعدَاد 2010-05-17, 05:42

قواعِد الأعدَاد
العمليات الحسابية الرئيسية الأربع هي الجمع والطرح والضرب والقسمة.
يقوم الجمع على مبدأ الترابط، إذ يمكن اجراء جمع مجموعة أعداد بأي ترتيب دون أن تتغير النتيجة.
1+ 2+ 3= 6
أو
3+ 2+ 1= 6
أو
2+ 3+ 1= 6
يمكن تكرار عملية الطرح حسب أي ترتيب كان.
9- 3- 4= 2
9- 4- 3= 2
النتيجة هي واحدة في كلتا الحالتين.
الضرب عملية متكافئة مع عملية الجمع المتكرر. فكتابة: 7×5 مثلاً هي اختزال لكتابة: 7+ 7+ 7+ 7+ 7. يتعلم الناس جداول الضرب، لأنها أكثر سرعة من جمع أعمدة الأعداد. ليس باستطاعة الحاسبات الالكترونية والكومبيوتر القيام بعملية الضرب، رغم اشتهارها بالسرعة والدقة؛ وكل ما تقوم به إنما هو فقط اجراء عمليات جمع متتالية فائقة السرعة.
كما أن الطرح هو عكس الجمع، كذلك القسمة فهي عكس الضرب، أي كناية عن عمليات طرح متكررة.
حساب المثلَّثات

حساب المثلثات هو فن حساب أحجام المثلثات. الفكرة الأساسية فيه هي أن النسب بين أضلاع مثلث قائم الزاوية تتوقف على مقدار اتساع زاوية قاعدته (أ) سميت هذه النسب جيب أ (جا أ) وجيب تمام أ (جتا أ) وظل أ (ظا أ) وغير ذلك، ووضعت لها جداول تعطي النسب لمختلف قيم الزاوية أ. ثم اتضح أن جا أ هو خارج قسمة الضلع المقابل للزاوية أ على الضلع الأطول، وجتا أ هو خارج قسمة الضلع المجاور للزاوية أ على الضلع الاطول، وظا أ هو نسبة طول الضلع المجاور للزاوية أ لى طول الضلع المقابل لها. كل انسان يستطيع حساب عناصر أي مثلث بدقة كبيرة، إذا تسلّح بجداول النسب المثلثية.

ويستخدم الفلكيون والبحارة والمساحون حساب المثلثات بشكل كبير لحساب الزوايا والمسافات في حالة تعذر القياس بطريقة مباشرة. وتصف المعادلات المتضمنة لنسب مثلثية المنحنيات التي يستخدمها الفيزيائيون لتحليل خواص الحرارة والضوء والصوت والظواهر الطبيعية الأخرى.

حساب التفاضل والتكامل والتحليل

له تطبيقات عدة في الهندسة والفيزياء والعلوم الأخرى. ويمدنا حساب التفاضل والتكامل بطرائق لحل عديد من المسائل المتعلقة بالحركة أو الكميات المتغيرة. ويبحث حساب التفاضل في تحديد معدل تغير الكمية. ويستخدم لحساب ميل المنحنى والتغير في سرعة الطلقة. أما حساب التكامل فهو محاولة إيجاد الكمية بمعلومية معدل تغيرها, ويستخدم لحساب المساحة تحت منحنى ومقدار الشغل الناتج عن تأثير قوة متغيرة. وخلافاً للجبر, فإن حساب التفاضل والتكامل يتضمن عمليات مع كميات متناهية الصغر (كميات صغيرة ليست صفراً ولكنها أصغر من أي كمية معطاة).

ويتضمن التحليل عمليات رياضية متعددة تشمل اللانهاية والكميات المتناهية الصغر. ويدرس التحليل المتسلسلات اللانهائية وهي مجاميع غير منتهية لمتتابعات عددية او صيغ جبرية. ولمفهوم المتسلسلات اللانهائية تطبيقات مهمة في مجالات عدة مثل دراسة الحرارة واهتزازات الأوتار.

تواريخ مهمة في الرياضيات

3000 ق .ماستخدم قدماء المصريين النظام العشري. وطوروا كذلك الهندسة وتقنيات مساحة الأراضي.
370 ق.معرف إيودكسس الكندوسي طريقة الاستنفاد, التي مهدت لحساب التكامل.
300 ق.مأنشأ إقليدس نظاماً هندسياً مستخدماً الاستنتاج المنطقي.
787 مظهرت الأرقام والصفر المرسوم على هيئة نقطة في مؤلفات عربية قبل أن تظهر في الكتب الهندية.
830 مأطلق العرب على علم الجبر هذا الاسم لأول مرة.
835 ماستخدم الخوارزمي مصطلح الأصم لأول مرة للإشارة لعدد الذي لا جذر له.
888 موضع الرياضيون العرب أولى لبنات الهندسة التحليلية بالاستعانة بالهندسة في حل المعادلات الجبرية.
912 ماستعمل البتاني الجيب بدلا من وتر ضعف القوس في قياس الزاويا لأول مرة.
1029 ماستغل الرياضيون العرب الهندسة المستوية والمجسمة في بحوث الضوء لأول مرة في التاريخ.
1142 مترجم أيلارد - من باث - من العربية الأجزاء الخمسة عشر من كتاب العناصر لأقليدس, ونتيجة لذلك أضحت أعمال أقليدس معروفة جيداً في أوروبا.
منتصف القرن الثاني عشر الميلادي.أدخل نظام الأعداد الهندية - العربية إلى أوروبا نتيجة لترجمة كتاب الخوارزمي في الحساب.
1252 ملفت نصير الدين الطوسي الانتباه - لأول مرة - لأخطاء أقليدس في المتوازيات.
1397 ماخترع غياث الدين الكاشي الكسور العشرية.
1465 موضع القلصادي أبو الحسن القرشي لأول مرة رموزاً لعلم الجبر بدلاً عن الكلمات.
1514 ماستخدم عالم الرياضيات الهولندي فاندر هوكي اشارتي الجمع (+) ةالطرح (-) لأول مرة في الصيغ الجبرية.
1533 مأسس عالم الرياضيات الألماني ريجيومونتانوس, حساب المثلث كفرع مستقل عن الفلك.
1542 مألف جيرولامو كاردانو أول كتاب في الرياضيات الحديثة.
1557 مأدخل روبرت ركورد إشارة المساواة (=) في الرياضيات معتقد أنه لا يوجد شيئ يمكن ان يكون أكثر مساواة من زوج من الخطوط المتوازية.
1614 منشر جون نابيير اكتشافه في اللوغاريتمات, التي تساعد في تبسيط الحسابات.
1637 منشر رينيه ديكارت اكتشافه في الهندسة التحليلية, مقرراً أن الرياضيات هي النموذج الأمثل للتعليل.
منتصف العقد التاسع للقرن السابع عشر الميلادي.نشر كل من السير إسحق نيوتن وجوتفريد ولهلم ليبنتز بصورة مستقلة اكتشافاتهما في حساب التفاصيل والتكامل.
1717 مقام أبراهام شارب بحساب قيمة النسبة التقريبية حتى 72 منزلة عشرية.
1742 موضع كريستين جولدباخ ما عرف بحدسية جولدباخ: وهو أن كل عدد زوجي هو مجموع عددين أوليين. ولا تزال هذه الجملة مفتوحة لعلماء الرياضيات لإثبات صحتها أو خطئها.
1763 مأدخل جسبارت مونيي الهندسة الوصفية وقد كان حتى عام 1795 م يعمل في الاستخبارات العسكرية الفرنسية.
بداية القرن التاسع عشر الميلادي.عمل علماء الرياضيات كارل فريدريك جوس ويانوس بولياي, نقولا لوباشيفسكي, وبشكل مستقل على تطوير هندسات لا إقليدية.
بداية العقد الثالث من القرن التاسع عشر.بدأ تشارلز بباج في تطوير الألات الحاسبة.
1822 مأدخل جين بابتست فورييه تحليل فورييه.
1829 مأخل إفاريست جالوا نظرية الزمر.
1854 منشر جورج بولي نظامه في المنطق الرمزي.
1881 مأدخل جوشياه ويلارد جبس تحليل المتجهات في ثلاثة أبعاد.
أواخر القرن التاسع عشر الميلادي.طور جورج كانتور نظرية المجموعات والنظرية الرياضية للمالانهاية.
1908 مطور إرنست زيرميلو طريقة المسلمات لنظرية المجموعات مستخدماً عبارتين غير معروفتين وسبع مسلمات.
1910 - 1913 منشر ألفرد نورث وايتهيد وبرتراند رسل كتابهما مبادئ الرياضيات وجادلا فبه أن كل الفرضيات الرياضية يمكن استنباطها من عدد قليل من المسلمات.
1912 مبدأ ل. ي. ج. برلور الحركة الحدسية في الرياضيات باعتبار الأعداد الطبيعية الأساس في البنية الرياضية التي يمكن إدراكها حدسياً.
1921 منشر إيمي نوذر طريقة المسلمات للجبر.
بداية الثلاثينيات من القرن العشرين الميلادي.أثبت كورت جودل ان أي نظام من المسلملت يحوي جملاً لا يمكن إثباتها.
1937 مقدم ألان تورنج وصفا لـ "آلة تورنج" وهي حاسوب آلي تخيلي يمكن أن يقوم بحل جميع المسائل ذات الصبغة الحسابية.
مع نهاية الخمسينيات وعام 1960 مدخلت الرياضيات الحديثة إلى المدارس في عدة دول.
1974 مطور روجر بنروز تبليطة مكونة من نوعين من المعينات غير متكررة الأنماط. واكتشف فيما بعد أن هذه التبليطات التي تدعي تبليطات بنروز تعكس بنية نوع جديد من المادة المتبلورة وشبه المتبلورة.
سبعينيات القرن العشرينظهرت الحواسيب المبنية على أسس رياضية, واستخدمت في التجارة والصناعة والعلوم.
1980 مبحث عدد من علماء الرياضيات المنحنيات الفراكتلية, وهي بنية يمكن استخدامها لتمثيل الظاهرة الهيولية.