مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية و مبادئ في الحسابيات الجذع المشترك

مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية و مبادئ في الحسابيات


مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية و مبادئ في الحسابيات






القدرات المنتظرة

*- توظيف الزوجية وتفكيك عدد إلى جداء عوامل أولية في حل بعض المسائل البسيطة
حول الأعداد الصحيحة الطبيعية.



-I-مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية :

-1 مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية:



2-الأعداد الزوجية – الأعداد الفردية:

*تعريف*

[size=16]- نقول إن العدد الصحيح الطبيعي a عدد زوجي إذا وفقط آان يوجد عدد صحيح طبيعي k حيث : a=2k-نقول إن العدد الصحيح الطبيعي [/size][size=16]a عدد فردي إذا وفقط آان يوجد عدد صحيح طبيعي k حيث a=2k+1

[size=21]*أمثلة*


الأعداد 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , .. أعداد زوجية
[/size][/size][size=16]الأعداد 1 , 3 , 5 , 7 , 9 .....أعداد فردية

[/size]*ملاحظات*

*- العدد الصحيح الطبيعي هو إما عدد زوجي أو عدد فردي
*- مجموع عددين زوجيين هو عدد زوجي
*-مجموع عددين فرديين هو عدد زوجي
*-مجموع عدد زوجي و عدد فردي هو عدد فردي

II- مضاعفات عدد – قواسم عدد :

1-مضاعفات عدد:

*تعريف*

[size=16]ليكن[/size] [size=16]a و b عددين صحيحين طبيعيين حيث b غير منعدم
نقول إن العدد a مضاعف للعدد b إذا وفقط إذا وجد عدد صحيح طبيعي k حيث a=bk
[/size][size=16][size=21]*أمثلة*[/size][/size][size=16]

[/size][size=16][size=16]- الأعداد 0 , 5 , 10 , 15 ... 1755 مضاعفات للعدد 5
-22 ليس مضاعف للعدد 4
* ليكن b عنصراً من *N
مضاعفات b هي الأعداد kb حيث k ينتمي الى N
0×k =0

[size=21]*خاصية*

[size=16]* لكل عدد صحيح طبيعي غير منعدم ما لنهاية من المضاعفات
* للعدد 0 مضاعف وحيد هو 0*المضاعف المشترك الأصغر*[/size][/size][/size][/size][size=16]
[size=21][size=16]ليكن a و b عددين صحيحين طبيعيين غير منعدمين
المضاعف المشترك الأصغر للعددين a و b هو أصغر مضاعف مشترك غير منعدم للعددين a [/size][/size][/size][size=16][size=21][size=16]و b نرمز له بالرمز ppcm

[size=21]أمثلة

ppcm (4;9) = 36
ppcm (6;10)=30

-2قواسم عدد:

*تعريف*

[size=16]ليكن a و b عددين صحيحين طبيعيين حيث b غير منعدم
نقول إن العدد b قاسم للعدد a إذا وفقط إذا وجد عدد صحيح طبيعي k حيث a=bk

[size=21]*ملاحظة*

[size=16]العدد b قاسم للعدد a إذا وفقط إذا العدد a مضاعف للعدد b
نقول أيضا العدد a قابل للقسمة على b
-[/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][size=16][size=21][size=16][size=21][size=16][size=21][size=16]آل[/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][size=16][size=21][size=16][size=21][size=16][size=21][size=16]عدد [/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][size=16][size=21][size=16][size=21][size=16][size=21][size=16]آل[/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][size=16][size=21][size=16][size=21][size=16][size=21][size=16]صحيح [/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][size=16][size=21][size=16][size=21][size=16][size=21][size=16]آل[/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][size=16][size=21][size=16][size=21][size=16][size=21][size=16]طبيعي غير منعدم مخالفا ل 1 له على الاقل قاسمان 1 و نفسه
- للعدد 1 قاسم وحيد هو نفسه
-جميع الأعداد الصحيحة الطبيعية الغير المنعدمة تقسم 0

[size=21]*القاسم المشترك الأآبر لعددين*

تعريف:

[size=16] ليكن a و b عددين صحيحين طبيعيين غير منعدمين
القاسم المشترك الأآبر للعددين a [/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][size=16][size=21][size=16][size=21][size=16][size=21][size=16][size=21][size=16]و b هو اآبر قاسم مشترك لهما
نرمز له بالرمز pgcd
[size=21]مثال:

[size=16]pgcd(126;90)=18
pgcd(4;9)=1

[/size]III-الأعداد الأولية :

1- تعريف:

[size=16]نسمي عددا أوليا آل عدد صحيح طبيعي له قاسمان بالضبط

[/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][size=16][size=21][size=16][size=21][size=16][size=21][size=16][size=21] *أمثلة*

-حدد الأعداد الأولية الأصغر من 40[/size][/size][/size]الأعداد الأولية الأصغر من 40 هي: 2,3,7,11,13,17,19,23,29,31,37

2-التفكيك إلى جداء عوامل أولية لعدد غير أولي مبرهنة (مقبولة):

[size=16]كل عدد صحيح طبيعي n هو عدد أولي أو جداء عوامل أولية .

[size=21]أمثلة:

[size=16] 41 عدد أولي
72 عدد غير أولي و 72 = 8×9 = 3[/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][size=16][size=21][size=16][size=16][size=21][size=16][size=21][size=16]×3[/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][size=16][size=21][size=16][size=16][size=21][size=16][size=21][size=16]×2[/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][size=16][size=21][size=16][size=16][size=21][size=16][size=21][size=16]×[/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size]2[size=16][size=21][size=16][size=16][size=21][size=16][size=21][size=16]×2[/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size]
[size=16][size=21][size=16][size=21]تعريف:

[size=16]ليكن a عددا صحيحا طبيعيا غير أولي
كتابة a على شكل جداء عوامله أولية تسمى " التفكيك إلى جداء عوامل أولية" للعدد a

[size=21]أمثلة:
[size=16]فكك الأعداد 24;319;1344 إلى جداء عوامل أولية
24=[/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][size=16][size=21][size=16][size=21][size=16][size=21][size=16]8[/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][size=16][size=21][size=16][size=16][size=21][size=16][size=21][size=16]×3=2[/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][size=16][size=21][size=16][size=16][size=21][size=16][size=21][size=16]×2[/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][size=16][size=21][size=16][size=16][size=21][size=16][size=21][size=16]×2[/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][size=16][size=21][size=16][size=16][size=21][size=16][size=21][size=16]×3[/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size]
319=11[size=16][size=21][size=16][size=16][size=21][size=16][size=21][size=16]×29
1344=4[/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][size=16][size=21][size=16][size=16][size=21][size=16][size=21][size=16]×4[/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][size=16][size=21][size=16][size=16][size=21][size=16][size=21][size=16]×4[/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][size=16][size=21][size=16][size=16][size=21][size=16][size=21][size=16]×21=2[/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][size=16][size=21][size=16][size=16][size=21][size=16][size=21][size=16]×2[/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][size=16][size=21][size=16][size=16][size=21][size=16][size=21][size=16]×2[/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][size=16][size=21][size=16][size=16][size=21][size=16][size=21][size=16]×2[/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][size=16][size=21][size=16][size=16][size=21][size=16][size=21][size=16]×2[/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][size=16][size=21][size=16][size=16][size=21][size=16][size=21][size=16]×2[/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][size=16][size=21][size=16][size=16][size=21][size=16][size=21][size=16]×3[/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][size=16][size=21][size=16][size=16][size=21][size=16][size=21][size=16]×7

[/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size]تقنية للتفكيك



إضافات

* طريقة لتحديد المضاعف المشترك الأصغر للعددين a و b حيث a>b
أحدد مضاعفات a ثم أتآكد بالتتابع ابتداء من أصغر مضاعف غير منعدم للعدد a هل هو مضاعف للعدد b , فإذا آان الجواب لا ، أتابع البحث إن آان نعم ، أتوقف و العدد الذي حصلت فيه على هذا الجواب هو المضاعف المشترك الأصغر للعددين a و b .

**طريقة لتحديد القاسم المشترك الآكبر للعددين a و b حيث a>b
أحدد قواسم العدد b ثم أتآكد بالتتابع تناقصيا ابتداء من أآبر قاسم للعدد b هل هو قاسم للعدد a فإذا آان الجواب لا ، أتابع البحث ان آان نعم ، أتوقف و العدد الذي حصلت فيه على هذا الجواب هو القاسم المشترك الأآبر للعددين a و b .

***طريقة لتحديد ما إذا كان العدد a أوليا أم لا
نحدد أولا جميع الأعداد الأولية p حيث p[size=16][size=21][size=16][size=16][size=21][size=16][size=21][size=16]×p-إذا كان a يقبل القسمة على أحد هذه الأعداد فان a غير أولي
[/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][size=16][size=21][size=16][size=16][size=21][size=16][size=21][size=16]-إذا كان a لا يقبل القسمة على أي عدد من هذه الأعداد فان a [/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][size=16][size=21][size=16][size=16][size=21][size=16][size=21][size=16] أولي[/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size]