La trigonométrie dans le triangle rectangle.

موضوع: La trigonométrie dans le triangle rectangle. 2010-12-12, 13:59

La trigonométrie dans le triangle rectangle.

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0. Introduction :un peu d'histoire

Le mot vient du grec "trigone" (triangle) et "metron" (mesure).
Dans l‘Encyclopédie (1751), Jean le Rond d‘Alembert (1717 ; 1783) définit la trigonométrie comme :

« l‘art de trouver les parties inconnues d‘un triangle par le moyen de celles qu‘on connaît ».

C‘est bien la démarche qui est demandée aux élèves du collège. I. Relations trigonométriques dans le triangle rectangle :

Theoreme : Dans un triangle rectangle ABC, on peut définir les relations suivantes entre les angles aigus et les différentes longueurs des côtés. La trigonométrie dans le triangle rectangle. J1

La trigonométrie dans le triangle rectangle. J1

Definition : - Le cosinus d'un angle aigu est donné par:

$La trigonométrie dans le triangle rectangle. Mimetex.cgi?%5Cfbox%7B%20cos%28%5Cwidehat%7BABC%7D%29=%5Cfrac%7Blongueur%5C,du%5C,cote%5C,adjacent%5C,a%5C,l%27angle%5C,%5Cwidehat%7BABC%7D%7D%7Blongueur%5C,de%5C,l%27hypotenuse%7D%20$

- Le sinus d'un angle aigu est donné par :

$La trigonométrie dans le triangle rectangle. Mimetex.cgi?%5Cfbox%7B%20sin%28%5Cwidehat%7BABC%7D%29=%5Cfrac%7Blongueur%5C,du%5C,cote%5C,oppose%5C,a%5C,l%27angle%5C,%5Cwidehat%7BABC%7D%7D%7Blongueur%5C,de%5C,l%27hypotenuse%7D%20$

- La tangente d'un angle aigu est donnée par :

$La trigonométrie dans le triangle rectangle. Mimetex.cgi?%5Cfbox%7B%20tan%28%5Cwidehat%7BABC%7D%29=%5Cfrac%7Blongueur%5C,du%5C,cote%5C,oppose%5C,a%5C,l%27angle%5C,%5Cwidehat%7BABC%7D%7D%7Blongueur%5C,du%5C,cote%5C,adjacent%5C,a%5C,l%27angle%5C,%5Cwidehat%7BABC%7D%7D%20$ Moyen mnémotechnique :

SOH-CAH-TOA
Expliquations:

CAH: Cos( $La trigonométrie dans le triangle rectangle. Mimetex$ )= (longueur du cote Adjacent a l'angle $La trigonométrie dans le triangle rectangle. Mimetex$ ) : (longueur de l'Hypotenuse )

SOH: Sin( $La trigonométrie dans le triangle rectangle. Mimetex$ )= (longueur du cote Opposé a l'angle $La trigonométrie dans le triangle rectangle. Mimetex$ ) : (longueur de l'Hypotenuse )

TOA: Tan( $La trigonométrie dans le triangle rectangle. Mimetex$ )= (longueur du cote Opposé a l'angle $La trigonométrie dans le triangle rectangle. Mimetex$ ): (longueur du cote Adjacent a l'angle $La trigonométrie dans le triangle rectangle. Mimetex$ ) Remarques :

- Le sinus et le cosinus d‘un angle sont toujours compris entre - 1 et 1.
- Par contre, la tangente d‘un angle aigu peut prendre toutes les valeurs.
Exemples :

Si AC=16 cm et BC=20 cm, calculer sin (ABC)
[ Réponse : sin(ABC)=0,8]
Si AC=16 cm et AB= 12 cm, calculer tan(ABC)
[ Réponse : tan(ABC) =1,33]
II. Détermination de la mesure d'un angle en degré, connaissant son cox ou sinx ou tanx :

Methode: La détermination de la mesure d‘un angle connaissant son cosx, sinx ou tanx s‘effectue à l‘aide de la calculatrice en utilisant les touches :

$La trigonométrie dans le triangle rectangle. Mimetex.cgi?%5Cfbox%7Bcos%5E%7B-1%7D%7D%5C,,%5C,%5Cfbox%7Bsin%5E%7B-1%7D%7D%5C,,%5C,%5Cfbox%7Btan%5E%7B-1%7D%7D%5C,%5C,%20%20$

En ayant verifie, prealablement, que la calculatrice est en mode degre $La trigonométrie dans le triangle rectangle. Mimetex.cgi?%5Cfbox%7BDEG%7D$ Exemples :

• Si cos x = 0,5 alors $La trigonométrie dans le triangle rectangle. Mimetex.cgi?%20x=cos%5E%7B-1%7D%280,5%29=60%5Eo%20%20$
• Si sin x = 0,5 alors $La trigonométrie dans le triangle rectangle. Mimetex.cgi?%20x=sin%5E%7B-1%7D%280,5%29=30%5Eo%20%20$
• Si tan x = 1 alors $La trigonométrie dans le triangle rectangle. Mimetex.cgi?%20x=tan%5E%7B-1%7D%281%29=45%5Eo%20%20$ III. Formules Trigonométriques :

Proprietes : Pour tout angle x, les égalités suivantes sont toujours vraies :

$La trigonométrie dans le triangle rectangle. Mimetex$

La trigonométrie dans le triangle rectangle. J11

Preuve :

$La trigonométrie dans le triangle rectangle. Mimetex.cgi?%20cos%20x=%5Cfrac%7BAB%7D%7BBC%7D%5C,;%5C,sin%20x=%5Cfrac%7BAC%7D%7BBC%7D%5C,;%5C,tan%20x=%5Cfrac%7BAC%7D%7BAB%7D%20$

$La trigonométrie dans le triangle rectangle. Mimetex.cgi?%20cos%5E2%20x%20+%20sin%5E2%20x%20=%28%5Cfrac%7BAB%7D%7BBC%7D%29%5E2+%28%5Cfrac%7BAC%7D%7BBC%7D%29%5E2=%5Cfrac%7BAB%5E2%7D%7BBC%5E2%7D+%5Cfrac%7BAC%5E2%7D%7BBC%5E2%7D=%5Cfrac%7BAB%5E2+AC%5E2%7D%7BBC%5E2%7D%20$

Or ABC est rectangle en A, donc d‘après la partie directe du théorème de Pythagore : AB²+AC²=BC²

D‘où :

$La trigonométrie dans le triangle rectangle. Mimetex.cgi?%20cos%5E2%20x%20+%20sin%5E2%20x%20=%5Cfrac%7BAB%5E2+AC%5E2%7D%7BBC%5E2%7D=%5Cfrac%7BBC%5E2%7D%7BBC%5E2%7D=1%20$
Puis

$La trigonométrie dans le triangle rectangle. Mimetex.cgi?%20%5Cfrac%7Bsin%20x%7D%7Bcos%20x%7D=%5Cfrac%7B%5Cfrac%7BAC%7D%7BBC%7D%7D%7B%5Cfrac%7BAB%7D%7BBC%7D%7D=%5Cfrac%7BAC%7D%7BBC%7D%5Ctimes%5Cfrac%7BBC%7D%7BAB%7D=%20%5Cfrac%7BAC%7D%7BAB%7D=tan%20x%20$

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